Questo è un file dove sono scritte, in maniera decisamente riassuntiva e a grandi linee, le idee principali nelle dimostrazioni di vari teoremi del corso di PDE. In molti casi la distribuzione degli argomenti, almeno per quanto riguarda la parte sugli spazi di Sobolev e la teoria classica, segue il libro di Evans mentre il resto è preso un po’ in giro o principalmente da “Functional Analysis” di Bressan e “Elliptic Regularity” di Martinazzi Giaquinta. Il riassuntone non è completo e al momento c’è la parte sugli spazi di Sobolev(mancano solo le varie disuguaglianze di Poincaré e qualcosa sulla traccia) e cose sugli operatori ellittici in forma di divergenza. Lo scopo dell’articolo è quello di mettermi a disposizione, in ogni momento della giornata e su ogni dispositivo, una fonte poco attendibile per ripassare per l’esame 🙂
This is a proof of the non compactness of the closed unit ball in an infinite dimensional normed space. It’s been taken, and refined by me, from the book “Theorems and Problems in Functional Analysis” by A.A. Kirillov and A.D. Gvishiani, Chapter III Linear Topological Spaces and Linear Operators, page 55. I consider it infamous after an unfortunate event related to it. Thanks Kirillov and Gvishiani 🙂
Here is an attempt to prove that there exists a function 
(where 
is a closed manifold) that has regular level sets of arbitrary large Hausdorff measure.
The proof above can be adapted to construct a function 
for every fixed 
. I still don’t know if it’s possible to do the same for 
.
Here the link to the discussion on stack exchange:
On a warm summer night, three knights met—not by the light of crackling flames, but illuminated by the glow of their phones during a video call. Amidst lags, silences, and the view of Chiara’s balcony, they spoke of travels, mathematics, and quirky logic professors (and perhaps even a group classification theorem proven after forty years…). It was then that Sir Roberth, with a frozen screen and a dying battery, uttered the following words:
‘Hey, have you guys ever answered any questions on Stack Exchange?‘
What follows is the final result of a pleasant series of interactions. Special thanks to Professor Baldi for making the explicit form of the Fourier transform of the Heaviside function at least somewhat interesting and engaging. The original discussion can be found here:
https://math.stackexchange.com/q/5080131/1601386
Here instead there is the complete file with all the lemmas and explicit constants for the Heaviside function transform:
Questi sono degli appunti incompleti, non corretti del corso(in corso) di Analisi Complessa del Professore Francesco Polizzi :). Negli appunti risulta mancante la settima. Un bacione salamalekum.
Caro Luca, ti abbiamo fatto un bel regalo, molto bello.
Conveniamo entrambi che sarebbe meglio tenerci tutto, e che comunque in ogni caso non te lo daremo così facilmente.
Come avevi già capito sono dei libri. Dieci libri per l’esattezza, scelti a mano da noi. Per averli però, o nostro prode, dovrai sottoporti a dieci fatiche: dieci task che sono collegate in qualche modo alla vita universitaria e alla matematica.
Parte integrante del tuo regalo è questo sito, che speriamo sia occasione per raccogliere le tue idee e i tuoi primi scritti. Abbiamo già caricato la tua tesi, e fingeremo di averla letta se ce lo chiederai.
Le task sono tutte collegate a cose da pubblicare su questo sito, così che alla fine avrai dieci articoli pronti e un po’ di dimestichezza con questo sito.
Gianmarco ci tiene a dire che non ha idea di come usare latex su questo sito, o di come si carica un pdf. Chiedi a Chiara. In ogni caso, la versione di questo sito che vedi è preliminare, sapevamo entrambi che non saremmo riusciti ad accontentare quella cosa che fai passare per gusto.
Chiara aggiunge che si dissocia da Gianmarco (anche se lo pensa anche lei e ha riso mentre scriveva questo messaggio).
Ecco le tue fatiche, mio prode:
- Ce ne è un gran bisogno! Scrivi (e pubblica) i tuoi appunti di TGM.
- Affronta il drago! Studia e scrivi un paper su teoria dei modelli (Chiara può suggerirti un teorema)
- 3b1b. Impara ad usare Manin per fare video di matematica.
- Un battito di ali di una farfalla… Studia l’evoluzione caotica di un sistema (se non hai idee chiedi a Gianmarco).
- THE DREAM: Completa tutti gli esercizi del Manetti.
- MANTEGAZZARIO: scrivi le soluzioni di tutti gli esercizi del libro arancione di Mantegazza (se sono troppi, comprensibilmente, puoi pure scrivere la soluzione di 20 esercizi per capitolo).
- Looking For N.F: fai ricerca su un topic che ti interessa e pubblica un paper. Idealmente dovrebbe uscirne una seconda tesi triennale (senza relatore, ma tanto sei abituato).
- Luca Verdolino: scegli una delle materie d’esame di quest’anno e pubblica i tuoi appunti. Gianmarco apprezza, e anche Chiara.
- Insegnalo ad Hollywood: scrivi una sceneggiatura (o un racconto) con protagonisti matematici e temi matematici e pubblicala. Facciamo vedere a questi cani come si fa!
- Confilosofare! Prendi un branco di matematici e sposta la conversazione sul filosofico! La matematica è stata inventata o è stata scoperta? Il modello assiomatico ha senso a propri o solo a posteriori? Discutine per ore, arriva ad una conclusione e pubblicala sul sito.
Bando alle ciance e ciancio alle bande, via al lavoro.
Ogni task completata è un nuovo libro, sbrigati prima che ce li rubiamo tutti.